Question

已知：如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，拋物線y=ax²+bx經過點B、C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）一動點P從點A出發，沿AC以每秒2個單位長度的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，△PQC是直角三角形？
（3）點M在拋物線上，點N在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M與點N，使以M、N、A、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先寫出點B、C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC的長，再求出點P到達點C的時間，然后表示出CP、CQ的長，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根據拋物線解析式求出對稱軸解析式，然后分①AC是平行四邊形的邊時，分點M在對稱軸左邊與右邊兩種情況求出點M的橫坐標，然后代入拋物線解析式計算求出縱坐標，從而求出點M的坐標，再根據點A、C的縱坐標的差距求出點N的縱坐標，然后寫出點N的坐標；②AC是對角線時，根據平行四邊形的對角線互相平分可知點M為拋物線的頂點坐標，再根據中點求出點N即可．
解答：解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴點B（10，5），C（12，0），
∴，
解得，
∴拋物線的函數表達式為y=-x²+3x；

（2）根據勾股定理，AC===13，
∵點P沿AC以每秒2個單位長度的速度向點C運動，點Q沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，
∴點P運動的時間為：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°兩種情況討論：
①∠PQC=90°時，cos∠ACO==，
即=，
解得t=，
②∠CPQ=90°時，cos∠ACO==，
即=，
解得t=，
綜上所述，t為秒或秒時，△PQC是直角三角形；

（3）拋物線對稱軸為直線x=-=-=6，
①AC是平行四邊形的邊時，（i）若點M在對稱軸左邊，
∵OC=12，
∴點M的橫坐標為：6-12=-6，
代入拋物線解析式得，y=-×（-6）²+3×（-6）=-27，
此時點M的坐標為（-6，-27），
∵OA=5，
∴點N的縱坐標為：-27-5=-32，
∴點N的坐標為（6，-32）；
（ii）若點M在對稱軸右邊，∵OC=12，
∴點M的橫坐標為：6+12=18，
代入拋物線解析式得，y=-×18²+3×18=-27，
此時點M的坐標為（18，-27），
∵OA=5，
∴點N的縱坐標為：-27+5=-22，
∴點N的坐標為（6，-22）；
②AC是對角線時，∵點P是AC的中點，點N在對稱軸上，
∴點M也在拋物線對稱軸上，
∴點M為拋物線的頂點，
∵y=-x²+3x=-（x-12x+36）²+9=-（x-6）²+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，點P在對稱軸上，
∴點P的坐標為（6，），
∴點N的縱坐標為：2×-9=-4，
∴點N（6，-4）；
綜上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）時，以M、N、A、C為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，解直角三角形，平行四邊形的性質，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．