Question

已知：如圖，平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的邊長為4，它的頂點A在x軸的正半軸上運動，頂點D在y軸的正半軸上運動（點A，D都不與原點重合），頂點B，C都在第一象限，且對角線AC，BD相交于點P，連接OP．
（1）當OA=OD時，點D的坐標為

（0，2

2

）

，∠POA=

45

°；
（2）當OA＜OD時，求證：OP平分∠DOA；
（3）設點P到y軸的距離為d，則在點A，D運動的過程中，d的取值范圍是什么？

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質求出△ADP是等腰直角三角形，再判斷出△AOD是等腰直角三角形，再求出四邊形AODP是正方形，然后根據正方形的性質求出AP=DP=2

2

，寫出點P的坐標即可；
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，根據正方形的對角線互相平分且相等可得PD=PA，再根據同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角角邊”證明△DPN和△APM全等，根據全等三角形對應邊相等可得PM=PN，然后利用到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；
（3）根據垂線段最短，A、O重合時，點P到y軸的距離最小，為正方形ABCD邊長的一半，OA=OD時點P到y軸的距離最大，為PD的長度，即可得解．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴四邊形AODP是正方形，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴AC=BD=

42+42

=4

2

，
∴AP=DP=

1

2

×4

2

=2

2

，
∴點P的坐標為（0，2

2

），∠POA=45°；

（2）證明：如圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴PD=PA，∠DPA=90°，
∵PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°，
∵∠NOM=90°，
∴四邊形NOMP中，∠NPM=90°，
∴∠DPA=∠NPM，
∵∠1=∠DPA-∠NPA，∠2=∠NPM-∠NPA，
∴∠1=∠2，
∵在△DPN和△APM中，

∠PND=∠PMA ∠1=∠2 PD=PA

，
∴△DPN≌△APM（AAS），
∴PN=PM，
∴OP平分∠DOA；

（3）解：當A、O重合時，點P到y軸的距離最小，
d=

1

2

×4=2，
當OA=OD時，點P到y軸的距離最大，d=PD=2

2

，
∵點A，D都不與原點重合，
∴2＜d≤2

2

．

點評：本題考查了正方形的性質，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，（2）作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，（2）根據垂線段最短判斷出最小與最大值的情況是解題的關鍵．