Question

（2005•廣東）如圖，已知半圓O的直徑AB=4，將一個三角板的直角頂點固定在圓心O上，當三角板繞著點O轉動時，三角板的兩條直角邊與半圓圓周分別交于C、D兩點，連接AD、BC交于點E．
（1）求證：△ACE∽△BDE；
（2）求證：BD=DE恒成立；
（3）設BD=x，求△AEC的面積y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓周角定理的推論得到兩個角相等，即證明三角形相似；
（2）根據圓周角定理得到∠B=45°，根據圓周角定理的推論得到∠BDE=90°，從而得到等腰直角三角形；
（3）在直角三角形ABD中，根據勾股定理表示出AD的長，再進一步表示AE的長，根據等腰直角三角形的性質進行分析計算．
解答：（1）證明：∵∠ACB與∠ADB都是半圓所對的圓周角，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠DEB（對頂角相等）．
所以△ACE∽△BDE

（2）證明：∵∠DOC=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠BAD+∠ABC=（∠AOC+∠BOD）=45°
∴∠BED=∠BAD+∠ABC=45°．
又∵∠BDE=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BD=DE．

（3）解：∵BD=x，BD=DE
∴DE=x，AD=，
∴AE=AD-DE=-x．
∵△ACE∽△BDE，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∴AC=AE=（-x）
∵△ACE∽△BDE，
∴AC=EC．
∴y=AC×EC=AC²=（-x）²=4-x，
點C與點A重合時，點D為AB弧的中點，此時BD=×=2，
所以，x的取值范圍為：0＜x＜2．
點評：此題要能夠熟練運用圓周角定理的推論以及相似三角形的性質和判定，能夠根據勾股定理表示出相關的邊．