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在矩形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于O,∠ACB=60°,AD=4
(1)判斷△AOD的形狀;
(2)求對角線BD的長及AB的長.
分析:(1)根據矩形的性質得出∠ABC=∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC=
1
2
AC,OB=OD=
1
2
BD,推出OA=OD=OB=OC,求出∠CAB=30°,∠DAO=60°,根據等邊三角形的判定推出即可;
(2)根據等邊三角形的性質得出OD=AD=4,求出BD=2OD=8,根據勾股定理求出AB即可.
解答:(1)解:△AOD是等邊三角形,
理由是:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC=
1
2
AC,OB=OD=
1
2
BD,
∴OA=OD=OB=OC,
∵∠ACB=60°,
∴∠CAB=30°,
∴∠DAO=60°,
∵OA=OD,
∴△AOD是等邊三角形;

(2)解:∵△AOD是等邊三角形,
∴∠ADO=60°,AD=OA=OD=4,
由(1)知,OB=OD=
1
2
BD,
即BD=2OD=8,
在Rt△DAB中,由勾股定理得:AB=
BD2-AD2
=
82-42
=4
2

即BD=8,AB=4
3
點評:本題考查了等邊三角形的性質和判定,矩形的性質,勾股定理等知識點,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖:在矩形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于點O,AB=4cm,AD=4
3
cm.
(1)判定△AOB的形狀;
(2)計算△BOC的面積.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于點O,且AB=OA=4cm,則AD=
 
cm.

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線相交于點O,且AO=AD=
3
,則AB的長是(  )
A、
3
2
B、3
C、2
3
D、
3
2

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科目:初中數學 來源: 題型:

在矩形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于點O,∠AOB=60°,若AB=4,則AC=
8
8

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