Question

已知拋物線y=-

3

4

x²-x+m與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，拋物線的頂點(diǎn)為C．求是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABC為等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根之和與兩根之積表達(dá)式，然后求出AB的距離，求出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于AB的一半即可得到關(guān)于m的方程．若能求出m的值，則m的值存在，否則不存在．

解答：解：設(shè)A、B的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），
由-

3

4

x²-x+m=0，有x₁+x₂=-

4

3

，x₁•x₂=-

4

3

m，
∴|AB|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 9 + 16m 3

=

4

3

1+3m

，
又∵-

b

2a

=-

-1

2×(- 3 4 )

=-

2

3

，

4ac-b2

4a

=

3m+1

3

，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

2

3

，

3m+1

3

），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|

3m+1

3

|=

1

2

|AB|=

2

3

3m+1

，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等，要綜合分析，認(rèn)真解答．