Question

如圖，已知動點A在函數的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x軸于點P，Q．當QE：DP=4：9時，圖中陰影部分的面積等于    ．

Answer 1

【答案】分析：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t，則圖中陰影部分的面積=△ACE的面積+△ABD的面積=t²+×，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=，△ADE∽△GPD，求出DP=：，然后根據QE：DP=4：9，即可得出t²=．
解答：解：解法一：過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F．
令A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE==．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE=，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP=．
又∵QE：DP=4：9，
∴=：=4：9，
解得t²=．
∴圖中陰影部分的面積=AC²+AB²=t²+×=+3=；

解法二：∵QE：DP=4：9，
∴EF：PG=4：9，
設EF=4t，則PG=9t，
∴A（4t，），
由AC=AE AD=AB，
∴AE=4t，AD=，DG=，GP=9t，
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t：=：9t，即t²=，
圖中陰影部分的面積=4t×4t+××=．
故答案為：．
點評：本題考查了反比例函數的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角形的面積等知識，綜合性較強，有一定難度．根據QE：DP=4：9，得出t²的值是解題的關鍵．