Question

某校研究性學習小組在研究有關反比例函及其圖象性質的問題，時發現了三個重要結論．已知：A是反比例函數（k為非零常數）的圖象上的一動點．
（1）如圖1過動點A作AM⊥x軸，AN⊥y軸，垂足分別為M、N，求證：矩形OMAN的面積是定值；
（2）如圖2，過動點A且與雙曲線有唯一公共點A的直線l與x軸交于點C，y軸交于點D，求證：△OCD的面積是定值；
（3）如圖3，若過動點A的直線與雙曲線交于另一點B，與x軸交于點C，與y軸交于點D．求證：AD=BC．（任選一種證明）

Answer 1

解：（1）圖中點A在第一象限，
設A（x_A，y_A ），OM=x_A，ON=y_A，
S_OMAN=OM•ON=x_A•y_A=k

（2）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則點C，D（（0，b），
，
，
∴，
∴A是CD中點，由（1）中結論得S_△OCD=2k．

（3）幾何方法過點A、B分別向坐標軸作垂線段由（1）中的結論得AE•AF=BG•BH，
∴，．
代數方法設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
，
，
，
得AF=CG，再可由全等證得DA=BC．
利用圖3（2）時注意點B的坐標符號，其它方法略．
分析：（1）設出點A的坐標，按照矩形的面積公式求解即可；
（2）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），根據直線l與雙曲線有唯一公共點，可求出A點是CD的中點，繼而得出答案；
（3）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），可利用幾何法和代數法進行求解．
點評：本題考查了反比例函數的知識，難度不大，注意善于總結這類綜合題的解題思路和方法．