Question

（2013•河北一模）平面上有且只有4個點，這4個點中有一個獨特的性質：連接每兩點可得到6條線段，這6條線段有且只有兩種長度．我們把這四個點稱作準等距點．例如正方形ABCD的四個頂點（如圖1），有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其實滿足這樣性質的圖形有很多，如圖2中A、B、C、O四個點，滿足AB=BC=CA，OA=OB=OC．
（1）如圖3，若等腰梯形ABCD的四個頂點是準等距點，且AD∥BC．寫出相等的線段（不再添加字母）；
（2）利用（1）的結論，求∠BCD的度數．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD的四個頂點是準等距點，且AD∥BC，即可求得答案；
（2）由（1）易證得△ABC≌△DCB，繼而可得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，然后設∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，可得在△BDC中，2x+2x+x=180，繼而可求得答案．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD的四個頂點是準等距點，且AD∥BC，
∴AB=DC=AD，AC=BD=BC；

（2）∵等腰梯形ABCD的四個頂點是準等距點，
∴AC=BD，AB=DC，
在△ABC和△DCB中，

AC=BD AB=DC BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠DBC=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=2∠ACB，
設∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，
∴在△BDC中，2x+2x+x=180，
解得x=36，
∴∠BCD=72°．

點評：此題考查了的等腰梯形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．