Question

已知直線y=kx-4（k＞0）與x軸、y軸交于A、C兩點，過A、C兩點的拋物線開口向上，且與x軸交于一點B．
（I）寫出A、C兩點坐標（可用k表示）；
（II）若AO=3BO，點B到直線AC的距離等于，求直線及拋物線的解析式；
（III）是否存在點A、點B使tan∠ACB=2，且△ABC外接圓截y軸所得弦長等于5，若存在，求過點A、B、C的拋物線解析式，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（ I）根據一次函數與坐標軸的交點求法即可得出A，C的坐標；
（ II）假設出A，B兩點的坐標，得出AB，AC的長度，再利用AB•OC=AC•BD，得出A，B坐標，即可求出直線與拋物線的解析式；
（ III）利用解直角三角形的性質得出△OBC∽△ODA，進而求出A，B兩點的坐標，即可得出二次函數的解析式．
解答：解：（ I）∵直線y=kx-4與x軸、y軸交于A、C兩點，
∴y=0，x=，
x=0，y=-4，
∴，C（0，-4）（2分）；

（ II）設A（3α，0），B（-α，0），
在△ABC中，AB•OC=AC•BD，
∴，
∴α=1，
∴A（3，0）B（-1，0），
將A（3，0）代入y=kx-4，得k=，
∴（4分），
設拋物線解析式為y=m（x-3）（x+1），
，將C（0，-4）代入，得m=，
∴（6分）；

（ III）存在（7分），
如圖，設△ABC外接圓圓心為M，作MG⊥x軸，交AB于點E，交圓M于點G，MF⊥y軸于點F
則CO=4，CF=2.5，
∴FO=1.5，
∵MG⊥AB，
∴，∠AME=∠ACB，
Rt△AME中，tan∠AME=2ME=OF，
∴AE=3AB=6，
∵∠CBO=∠ADO，∠BOC=∠DOA，
由△OBC∽△ODA，
得，
∴OB•OA=OD•OC，
設OB=x，則OA=6-x，
∴，
∴（9分），
設所求拋物線解析式為，
將C（0，-4）代入，得a=1，
∴（10分）．
點評：此題主要考查了二次函數以一次函數的綜合題目，主要利用數形結合進行求解，利用三角形的相似得出A，B，兩點的坐標是解決問題的關鍵．