Question

【題目】在四邊形中，，點是的中點

情景引入：

（1）如圖1，若是的平分線，試判斷，，DC之間的等量關系．

解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，證明得到，從而把，，轉化在一個三角形中即可判斷，，之間的等量關系為，試證明該結論；

問題探究：

（2）如圖2，點是的延長線上一點，連，若恰好是的平分線，試探究，，之間的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）AB=AF+CF，理由見解析.

【解析】

（1）由“AAS”可證△CEF≌△BEA，可得AB=CF，即可得結論；
（2）延長AE交DF的延長線于點G，由“AAS”可證△AEB≌△GEC，可得AB=CG，即可得結論.

解：（1）AD=AB+DC
理由如下：∵AE是∠BAD的平分線
∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD
∴∠F=∠BAE
∴∠DAF=∠F
∴AD=DF，
∵點E是BC的中點
∴CE=BE，且∠F=∠BAE，∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA（AAS）
∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
（2）AB=AF+CF
理由如下：如圖②，延長AE交DF的延長線于點G

∵E是BC的中點，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G．且BE=CE，∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC（AAS）
∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分線
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF