Question

【題目】（復習舊知）

結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

數軸上表示4和1的兩點之間的距離是3：而│4－1│＝3；表示－3和2兩點之間的距離是5：而│－3－2│＝5；表示－4和－7兩點之間的距離是3，而│－4－(－7)│＝3．

一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離公式為│m－n│．

（1）數軸上表示數－5的點與表示－2的點之間的距離為________；

（探索新知）

如圖①，我們在“格點”直角坐標系上可以清楚看到：要找AB或DE的長度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長．

下面：以求DE為例來說明如何解決．

從坐標系中發現：D（－7，5），E(4，－3)．所以DF＝│5－(－3）│＝8，EP＝│4－(－7）│＝11，所以由勻股定理可得：DE＝．

（2）在圖②中：設A（x1，y1），B(x2，y2)，試用x1，y1，x2，y2表示：

AC＝____________，BC＝____________，AB＝____________．

得出的結論被稱為“平面直角坐標系中兩點間距離公式”．

（學以致用）

請用此公式解決如下題目：

（3）已知：A(2，1），B(4，3)，C為坐標軸上的點，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請求出C點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）y1-y2；x1-x2；（3）（5，0）或（0，5）.

【解析】

（1）利用數軸上表示兩點之間的距離公式即可求出；

（2）先求出AC、BC的長，再利用勾股定理求出AB.

（3）由△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在坐標軸上，可知點C在AB中垂線上，作出中垂線不難發現此時點C有兩種情況，①若點C在x軸上，利用平面直角坐標系中兩點間距離公式和等腰三角形的腰相等列方程即可；②若點C在y軸上，求法同①.

解：（1）由數軸上表示兩點之間的距離公式可知：表示數－5的點與表示－2的點之間的距離為：│－5－(－2）│=3；

（2）由圖②可知AC=y1-y2，BC= x1-x2，由勾股定理得：AB=；

（3）如下圖所示，

∵△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在坐標軸上

∴點C在AB中垂線上，作出中垂線不難發現此時點C有兩種情況，

若點C在x軸上，可設點C坐標為（xc，0）利用平面直角坐標系中兩點間距離公式，

∴AC=

BC=

∴=

解得xc=5.

故C點坐標為（5，0）.

若點C在y軸上，可設點C坐標為（0，yc）利用平面直角坐標系中兩點間距離公式，

AC=

BC=

∴=

解得yc=5，

故點C的坐標為（0，5）.

綜上所述點C的坐標為（5，0）或（0，5）.