Question

（2007•郴州）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD沿對角線AC平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重合時停止移動．平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，FG與DC的延長線交于點Q．設S表示矩形PCMH的面積，S′表示矩形NFQC的面積．
（1）S與S′相等嗎？請說明理由．
（2）設AE=x，寫出S和x之間的函數關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？
（3）如圖2，連接BE，當AE為何值時，△ABE是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）相等，矩形FGHE中，對角線所分的兩直角三角形△FGE和△HGE的面積相等；
矩形ENCP中，對角線所分的兩直角三角形△ENC和△EPC的面積相等；
矩形CQGM中，對角線所分的兩直角三角形△CQG和△CMG的面積相等；
因此矩形NFQC的面積和矩形PCMH的面積相等，即S=S′．
（2）求矩形MFQC的面積，首先要求出NF和NC的長，已知了AE=x，那么EC=5-x，可在直角三角形ECN中，根據EC的長和∠ECN的正弦和余弦值求出EN，CN的長，進而可得出NF，CN的長，根據矩形的面積公式即可得出S，x的函數關系式．然后根據函數的性質可得出S的最大值及對應的x的值．
（3）本題要分三種情況進行討論：
①AE=BE，此時E為AC的中點，因此x=2.5．
②當AE=AB，已知了AB的長，即可求出x的值．
③當AB=BE，過B作AE的垂線，先根據AB的長和∠BAC的余弦值求出x的一半的長，進而可求出x的值．
解答：解：（1）相等
理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，
所以S_△EGH=S_△EGF，S_△ECN=S_△ECP，S_△CGQ=S_△CGM
所以S_△EGH-S_△ECP-S_△CGM=S_△EGF-S_△ECN-S_△CGQ，即：S=S′

（2）AB=3，BC=4，AC=5，
設AE=x，則EC=5-x，PC=（5-x），MC=x，
所以S=PC•MC=x（5-x），
即S=-x²+x（0≤x≤5）
配方得：S=-（x-）²+3，
所以當x=時，
S有最大值3

（3）當AE=AB=3或AE=BE=或AE=3.6時，△ABE是等腰三角形．
點評：本題主要考查了矩形的性質、解直角三角形、二次函數的應用、等腰三角形的判定等知識點．（3）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類進行求解，不要漏解．