Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，
（1）求證：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的長；
（3）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代換可得∠ABC=∠D然后即可證明△ABE∽△ADB．
（2）根據△ABE∽△ADB，利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可求得AB的長．
（3）連接OA，根據BD為⊙O的直徑可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求證∠OAF=90°即可．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C（等邊對等角），
∵∠C=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∴∠ABC=∠D（等量代換），
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=．
（3）解：直線FA與⊙O相切，理由如下：
連接OA，∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴=4
BF=BO=，
∵AB=，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∴直線FA與⊙O相切．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，切線的判定等知識點，有一定的拔高難度，屬于難題．