Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+與x軸交于點A，與y軸交于點B，點F是點B關于x軸的對稱點，拋物線y＝x2+bx+c經過點A和點F，與直線AB交于點C．

（1）求b和c的值；

（2）點P是直線AC下方的拋物線上的一動點，連結PA，PB．求△PAB的最大面積及點P到直線AC的最大距離；

（3）點Q是拋物線上一點，點D在坐標軸上，在（2）的條件下，是否存在以A，P，D，Q為頂點且AP為邊的平行四邊形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）b＝，c＝﹣；（2），；（3）點Q的坐標為：（﹣1﹣，）或（，﹣）或（﹣1+，）或（，）或（﹣，﹣）．

【解析】

（1）直線與軸交于點，與軸交于點，則點、的坐標分別為：、，則點，拋物線經過點和點，則，將點的坐標代入拋物線表達式并解得：；

（2）過點作軸的平行線交于點，設出點P，H的坐標，將△PAB的面積表示成△APH和△BPH的面積之和，可得函數表達式，可求△PAB的面積最大值，此時設點P到AB的距離為d，當△PAB的面積最大值時d最大，利用面積公式求出d.

（3）若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，平移AP，得出所有可能的情形，利用平行四邊形的對稱性得到坐標的關系，即可求解．

解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，

令x=0，則y=，令y=0，則x=-3，

則點、的坐標分別為：、，

∵點F是點B關于x軸的對稱點，

∴點，

∵拋物線經過點和點，則，

將點代入拋物線表達式得：，

解得：，

故拋物線的表達式為：，

，；

（2）過點作軸的平行線交于點，

設點，則點，

則的面積：

當時，

，

且，

∴的最大值為，此時點，，

設：到直線的最大距離為，

，解得：；

（3）存在，理由：

點，點，，設點，，

①當點在軸上時，

若存在以，，，為頂點且為邊的平行四邊形時，如圖，

三種情形都可以構成平行四邊形，

由于平行四邊形的對稱性可得圖中點Q到x軸的距離和點P到x軸的距離相等，

∴，

即，

解得：（舍去）或或；

②當點在軸上時，如圖：

當點Q在y軸右側時，由平行四邊形的性質可得：

=3，

∴

∴m=，代入二次函數表達式得：y=

當點Q在y軸左側時，由平行四邊形的性質可得：

=,

∴，

∴，代入二次函數表達式得：y=

故點，或，；

故點的坐標為：，或，或，或，或，．