Question

（2000•武漢）若正方形的四個頂點分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為    cm．

Answer 1

【答案】分析：由于正方形的位置不確定要分兩種情況討論：①正方形有一個頂點在斜邊上，②正方形有兩個頂點在斜邊上；①可設出正方形的邊長，利用相似三角形的成比例線段求解；②可用正方形的邊長表示出直角三角形的斜邊長，進而可列方程求出正方形的邊長．
解答：解：如圖；
Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理，得：
AC==5；
（1）如圖①，設正方形的邊長為x，則AD=3-x，CF=4-x；
易證得△ADE∽△EFC；
∴，即，解得x=；
即正方形的邊長為；
（2）如圖②，設正方形的邊長為x，則AG=x，CF=x；
∴AC=AG+EF+CF=x+x+x=5，解得x=；
即正方形的邊長為；
故這個正方形的邊長為或cm．
點評：此題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用等知識，同時還考查了分類討論的數學思想方法．