Question

【題目】如圖，已知中，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．

（1）如果，，且為的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；

（2）聯(lián)結(jié)，如果，且，，求的值；

（3）聯(lián)結(jié)，如果，且，，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到CP=4，求得BP=2，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BF∥CA交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求得，設(shè)CP=k，則PA=3k，得到PA=PB=3k根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=AB，推出△PBD∽△ABP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BPD=∠A，推出△DPE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）∵為的中點(diǎn)，，

∴

∵，，

∴

∵是邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)是的重心

∴

（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∴

∵，∴，

∵，，則，∴

∴

∴，

∴，

設(shè)，則

∵，是邊的中點(diǎn)，∴

∴，∴，∵

∴

（3）∵，是邊的中點(diǎn)

∴

∵

∴

∵，∴

∴

∵，∴，∵，

，∴

∵，，∴