Question

已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系。 小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連結E'D，使問題得到解決。請你參考小明的思路探究并解決下列問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明。

Answer 1

解：（1） DE2=BD2+EC2  證明：根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE' ∴ △AEC≌△ABE'  ∴ BE'=EC，A E'=AE ∠C=∠AB E' , ∠EAC=∠E'AB 在Rt△ABC中 ∵ AB=AC  ∴ ∠ABC=∠ACB=45° ∴ ∠ABC+∠AB E'=90° 即 ∠E'BD=90° ∴ E'B2+BD2= E'D2 又∵ ∠DAE=45° ∴ ∠BAD+∠EAC=45° ∴ ∠E'AB+∠BAD=45° 即 ∠E'AD=45° ∴ △A E'D≌△AED ∴ DE=DE'   ∴ DE2=BD2+EC2 （2）關系式DE2=BD2+EC2仍然成立 證明：將△ADB沿直線AD對折，得△AFD，連FE   ∴ △AFD≌△ABD  ∴AF=AB， FD=DB  ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD 又∵AB=AC，∴AF=AC ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45° ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB)= 45°+∠DAB ∴ ∠FAE=∠EAC 又∵ AE=AE    ∴△AFE≌△ACE    ∴ FE=EC ，∠AFE=∠ACE=45° ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135° ∴ ∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90° ∴在Rt△DFE中 DF2+FE2=DE2   即DE2=BD2+EC2