Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊長分別為a、b、c，設△ABC的面積為S，周長為l．
（1）填表：

三邊a、b、c	a+b-c	S l
3、4、5	2
5、12、13	4
8、15、17	6

（2）如果a+b-c=m，觀察上表猜想：

S

l

=

 

，（用含有m的代數式表示）；
（3）說出（2）中結論成立的理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC的面積S=

1

2

ab，周長l=a+b+c，分別將3、4、5，5、12、13，8、15、17三組數據代入兩式，可求出

S

l

的值；
（2）通過觀察以上三組數據，可得出：

S

l

=

m

4

；
（3）根據lm=（a+b+c）（a+b-c），a²+b²=c²，S=

1

2

ab可得出：lm=4s，即

S

l

=

m

4

．

解答：解：（1）∵Rt△ABC的面積S=

1

2

ab，周長l=a+b+c，故當a、b、c三邊分別為3、4、5時，S=

1

2

×3×4=6，l=3+4+5=12，故

S

l

=

1

2

，同理將其余兩組數據代入可得

S

l

為1，

3

2

．
∴應填：

1

2

，1，

3

2

（2）通過觀察以上三組數據，可得出

m

4

．

（3）∵l=a+b+c，m=a+b-c，
∴lm=（a+b+c）（a+b-c）
=（a+b）²-c²
=a²+2ab+b²-c²．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，s=

1

2

ab，
∴lm=4s．即

s

l

=

m

4

．

點評：本題主要考查勾股定理在解直角三角形面積和周長中的運用．