Question

如圖，為了開發利用海洋資源，某勘測飛機欲測量一島嶼兩端A、B的距離，飛機在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點A的俯角為60°，然后沿著平行于AB的方向水平飛行了500米，在點D測得端點B的俯角為45°，求島嶼兩端A、B的距離（結果保留根號）．

Answer 1

分析：首先過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，易得四邊形ABFE為矩形，根據矩形的性質，可得AB=EF，AE=BF．由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分別在Rt△AEC與Rt△BFD中，利用三角函數即可求得CE與DF的長，繼而求得島嶼兩端A、B的距離．

解答：解：過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四邊形ABFE為矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由題意可知：AE=BF=100米，CD=500米．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．
∴CE=

AE

tan60°

=

100

3

=

100 3

3

（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100米．
∴DF=

BF

tan45°

=

100

1

=100（米）．
∴AB=EF=CD+DF-CE=500+100-

100 3

3

=600-

100 3

3

（米）．
 答：島嶼兩端A、B的距離為（600-

100 3

3

）米．

點評：此題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質．注意能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數形結合思想的應用．