Question

（2012•綿陽）如圖，P是等腰直角△ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則P′A：PB=（　　）

• A．1：

  2

• B．1：2
• C．

  3

  ：2
• D．1：

  3

Answer 1

分析：連接AP，根據同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP=CP′，連接PP′，根據旋轉的性質可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍，代入整理即可得解．

解答：解：如圖，連接AP，∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵

BP=BP′ ∠ABP=∠CBP′ AB=BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=

2

PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設P′A=x，則AP=3x，
根據勾股定理，PP′=

AP2-P′A2

=

(3x)2-x2

=2

2

x，
∴PP′=

2

PB=2

2

x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故選B．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，作輔助線構造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B長度的

2

倍轉化到同一個直角三角形中是解題的關鍵．