Question

如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，試猜想EF與AD之間有什么關系？并證明你的猜想．

Answer 1

分析：根據角平分線性質得出DE=DF，推出D在EF的垂直平分線上，∠DEF=∠DFE，求出∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，得出A在EF的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線得出即可．

解答：AD⊥EF，AD平分EF，
證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∴∠DEA-∠DEF=∠DFA-∠DFE，
即∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴A在EF的垂直平分線上，
∵DE=DF，
∴D在EF的垂直平分線上，
即AD是EF的垂直平分線，
∴AD⊥EF，AD平分EF．

點評：本題考查了線段垂直平分線，角平分線性質，等腰三角形的性質和判定，兩點確定一條直線等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．