Question

選做題：如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點C和D，在C、D之間有一點P，如果P點在C、D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系是否發生變化．若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系又是如何？

Answer 1

考點：

平行線的性質．

專題：

探究型．

分析：

當P點在C、D之間運動時，首先過點P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．

當點P在C、D兩點的外側運動時，由直線l₁∥l₂，根據兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答：

解：如圖①，當P點在C、D之間運動時，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：

過點P作PE∥l₁，

∵l₁∥l₂，

∴PE∥l₂∥l₁，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

如圖②，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₁上方時，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：

∵l₁∥l₂，

∴∠PEC=∠PBD，

∵∠PEC=∠PAC+∠APB，

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如圖③，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l₂下方時，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：

∵l₁∥l₂，

∴∠PED=∠PAC，

∵∠PED=∠PBD+∠APB，

∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

點評：

本題主要考查平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度適中，解題的關鍵是掌握：兩直線平行，內錯角相等與兩直線平行，同位角相等，注意輔助線的作法．