Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(－1，0)，點B(3，0)和點C(0，3)．

(1)求拋物線的解析式和頂點E的坐標；

(2)點C是否在以BE為直徑的圓上?請說明理由；

(3)點Q是拋物線對稱軸上一動點，點R是拋物線上一動點，是否存在點Q、R，使以Q、R、C、B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，直接寫出點Q、R的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3，E (1，4)；（2）在；（3）Q1(1，－2)，R1(4，－5)；

Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．

【解析】試題分析：（1）運用待定系數法即可得出函數關系式，然后進行配方即可得出頂點坐標；

（2）過點E分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別F、G．易證△BCE為直角三角形，點C在以BE為直徑的圓上；

（3）利用平行四邊形的性質易得點Q、R的坐標.

試題解析： (1) 將A(－1，0)，B(3，0)和C(0，3)代入y=ax2＋bx＋c

得

解得

∴拋物線的解析式為y=－x2＋2x＋3，

∵y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，

∴頂點E的坐標為(1，4)．

(2)點C在以BE為直徑的圓上，理由如下：

如圖，過點E分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別F、G．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=18

在Rt△CEG中，EG=1，CG=OG－OC=4－3=1，∴CE2=2

在Rt△BFE中，FE=4，BF=OB－OF=3－1=2， ∴BE2=20

∴BC2＋CE2=BE2

故△BCE為直角三角形，點C在以BE為直徑的圓上．

(3)存在，點Q、R的坐標分別為Q1(1，－2)，R1(4，－5)；

Q2(1，－8)，R2(－2，－5)；R3(2，3)，Q3(1，0)．