Question

如圖：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．
（1）作△ABC的外接圓O，作直徑AE（尺規作圖）；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圓O直徑AE的長．

Answer 1

分析：（1）由于三角形的外心是三邊中垂線的交點，可作△ABC任意兩邊的垂直平分線，它們的交點即為外接圓的圓心O，確定了圓心即可畫出⊙O及直徑AE．
（2）由圓周角定理可得：∠C=∠E，∠ABE=∠ADC=90°，由此可證得△ADC∽△ABE，根據所得比例線段即可求得直徑AE的長．

解答：解：（1）如圖：
（2）證明：由作圖可知AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，（直徑所對的圓周角是直角）
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵

AB

=

AB

∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴

AC

AE

=

AD

AB

，即

6

AE

=

5

8

，
∴AE=9.6．

點評：此題主要考查了三角形的外接圓與外心的定義，要熟記此題的作圖方法，這在求三角形的外接圓半徑（或直徑）時，是常用也是主要的輔助線作法．