Question

分別求所有的實數k，使得關于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0
（1）有實根；
（2）都是整數根．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論：當k=0，方程變為：x-1=0，解得x=1；當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，則-3k²+6k+1≥0，利用二次函數的圖象解此不等式得≤k≤；最后綜合得到當≤k≤時，方程有實數根；
（2）分類討論：當k=0，方程變為：x-1=0，解得方程有整數根為x=1；當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，要使一元二次方程都是整數根，則△必須為完全平方數，得到k=1，2，-，k=1±；然后利用求根公式分別求解即可得到k=1、2、-時方程的解都為整數．
解答：解：（1）當k=0，方程變為：x-1=0，解得x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，
當△≥0，即-3k²+6k+1≥0，方程有兩個實數根，解得≤k≤，
∴當≤k≤時，方程有實數根；
（2）當k=0，方程變為：x-1=0，解得方程有整數根為x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，
一元二次方程都是整數根，則△必須為完全平方數，
∴當△=4，則k=1；當△=1，則k=2；當△=時，k=-；當△=0，則k=1±；
而x=，
當k=1，解得x=0或-2；
當k=2，解得x=-或-1；
當k=-，解得x=2或4；
當k=1±，解得x都不為整數，并且k為其它數△為完全平方數時，解得x都不為整數．
∴當k為0、1、-時方程都是整數根．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了分類討論思想的運用以及一元二次方程都為整數根的必要條件就是判別式為完全平方數．