Question

分別求所有的實數k，使得關于x的方程kx²+（k+1）x+（k-1）=0
（1）有實根；
（2）都是整數根．

Answer 1

（1）當k=0，方程變為：x-1=0，解得x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1，
當△≥0，即-3k²+6k+1≥0，方程有兩個實數根，解得

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

，
∴當

3-2 3

3

≤k≤

3+2 3

3

時，方程有實數根；
（2）當k=0，方程變為：x-1=0，解得方程有整數根為x=1；
當k≠0，△=（k+1）²-4×k×（k-1）=-3k²+6k+1=-3（k-1）²+4，
一元二次方程都是整數根，則△必須為完全平方數，
∴當△=4，則k=1；當△=1，則k=2；當△=

4

49

時，k=-

1

7

；當△=0，則k=1±

2 3

3

；
而x=

-(k+1)± △

2k

，
當k=1，解得x=0或-2；
當k=2，解得x=-

1

2

或-1；
當k=-

1

7

，解得x=2或4；
當k=1±

2 3

3

，解得x都不為整數，并且k為其它數△為完全平方數時，解得x都不為整數．
∴當k為0、1、-

1

7

時方程都是整數根．