Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求∠P的度數；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分）
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°（2分）
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分）
∵OC是⊙O的半徑
∴PC是⊙O的切線（4分）

（2）∵PC=AC，∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠P（5分）
∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
∴3∠P=90°
∴∠P=30°（6分）

（3）∵點M是半圓O的中點，
∴CM是角平分線，
∴∠BCM=45°（7分）
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=

1

2

AB=2（8分）
作BD⊥CM于D，
∴CD=BD=

2

2

BC=

2

，
∴DM=

3

BD=

6

∴CM=

2

+

6

（9分）
∴S_△BCM=

1

2

CM•BD=

3

+1（10分）
∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面積=

2

3

π-

3

（11分）
∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為

2

3

π+1（12分）
（注：其它解法，請參照給分）