Question

【題目】如圖，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一個以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與BA，DA交于點(diǎn)M，N，與BA，DA的延長線交于點(diǎn)E，F，連接AC.

（1）在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠FCA=∠ECA時，如圖1，求證：AE=AF；

（2）在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠FCA≠∠ECA時，如圖2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示線段AE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先證明△ABC≌△ADC，然后再證明△ACF≌△ACE即可得；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，先求出AC的長，再證明△ACF∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

試題解析：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC=45°，∴180°-∠BAC=180°-∠DAC，∴∠FAC=∠EAC=135°，

又∵∠FCA=∠ECA，

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF；

（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則∠BGC=∠AGC=90°，

∵∠B=30°，∴CG=BC==1，

∵∠BAC=45°，∴AC= =，

∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°，

又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE，

∴△ACF∽△AEC，

∴，即，

∴.