Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，點C在第一象限．已知點A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），點P在線段OB上，且OP＝OA．

（1）點C的坐標為　 　（用含m，n的式子表示）

（2）求證：CP⊥AP．

Answer 1

【答案】（1）（n，m+n）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）過點C作CD⊥y軸于點D，由“AAS”可證△CDB≌△BOA，可得BO=CD=n，AO=BD=m，即可求解；

（2）由線段的和差關系可得DP=n=DC，可得∠DPC=45°，可得結論．

（1）如圖，過點C作CD⊥y軸于點D，

∴∠CDB＝90°，

∴∠DCB+∠DBC＝90°，且∠ABO+∠CBD＝90°，

∴∠DCB＝∠ABO，且AB＝BC，∠CDB＝∠AOB＝90°，

∴△CDB≌△BOA（AAS）

∴BO＝CD＝n，AO＝BD＝m，

∴OD＝m+n，

∴點C（n，m+n），

故答案為：（n，m+n）；

（2）∵OP＝OA＝m，OD＝m+n，

∴DP＝n＝DC，∠OPA＝45°，

∴∠DPC＝45°，

∴∠APC＝90°，

∴AP⊥PC．