Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延長線于點F．
（1）求證：DE=EF；
（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延長線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=BC，進而得到EF=CB，即可證出DE=EF；
（2）首先畫出圖形，首先根據平行線的性質可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．
解答：證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF=BC，
∵D為邊AB的中點，DE∥BC，
∴DE=BC，
∴EF=DF-DE=BC-CB=CB，
∴DE=EF；

（2）∵四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠G=∠B．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，以及直角三角形的性質，關鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．