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已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數根,
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;
(3)k為何值時,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長.
【答案】分析:(1)若要證明方程總有兩個不相等的實數根,只需證明△>0.
(2)若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形,則根據勾股定理,AB2+AC2=25,再根據根與系數的關系求得k的值即可.
(3)此題要分兩種情況進行討論,若AB=BC=5時,把5代入方程即可求出k的值,若AB=AC時,則△=0,列出關于k的方程,解出k的值即可.
解答:解:(1)因為△=b2-4ac=[-(2k+3)]2-4×1×(k2+3k+2)=1>0,
所以方程總有兩個不相等的實數根.

(2)根據根與系數的關系:AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,
則AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB•AC=25,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或k=-5.
根據三角形的邊長必須是正數,因而兩根的和2k+3>0且兩根的積3k+2>0,解得k>-
∴k=2.

(3)若AB=BC=5時,5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的實數根,把x=5代入原方程,得k=3或k=4.
由(1)知,無論k取何值,△>0,所以AB≠AC,故k只能取3或4.
根據一元二次方程根與系數的關系可得:AB+AC=2k+3,當k=3時,AB+AC=9,則周長是9+5=14;
當k=4時,AB+AC=8+3=11.則周長是11+5=16.
點評:本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系和根的判別式,一元二次方程根的情況與判別式△的關系是:(1)△>0?方程有兩個不相等的實數根;(2)△=0?方程有兩個相等的實數根;(3)△<0?方程沒有實數根.在解題的過程中注意不要忽視三角形的邊長是正數這一條件.
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已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數根,
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;
(3)k為何值時,△ABC是等腰三角形,并求△ABC的周長.

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22、已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數根.
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個不相等的實數根.
(2)k為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.

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已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的兩個實數根.
(1)求證:無論k為何值時,方程總有兩個實數根;
(2)當△ABC是等腰三角形時,求k的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程的兩個實數根.

1.求證:無論為何值時,方程總有兩個不相等的實數根;

2.當為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

 

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科目:初中數學 來源:2011-2012學年江蘇省海安縣曲塘中學附屬初級中學九年級上學期期中考試數學卷 題型:解答題

(本題10分)已知△ABC的一條邊BC的長為5,另兩邊ABAC的長是關于x的一元二次方程的兩個實數根.
(1)求證:無論為何值時,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)當為何值時,△ABC是以BC為斜邊的直角三角形;

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