Question

已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0的兩個實數根．
（1）求證：無論k為何值時，方程總有兩個實數根；
（2）當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先計算出△=（k+3）²-4×3k，再變形得到△=（k-3）²，由于（k-3）²，≥0，即△≥0，然后根據△的意義即可得到結論；
（2）分類討論：當AC=BC=5，由于AC的長是關于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0的實數根，則把x=5代入可求出k的值；當AB=AC，得到方程x²-（k+3）x+3k=0的兩個相等的實數根，令△=0即可求出對應k的值．

解答：（1）證明：△=（k+3）²-4×3k
=（k-3）²，
∵（k-3）²，≥0，
∴△≥0，
∴無論k為何值時，方程總有兩個實數根；

（2）解：當AC=BC=5，
把x=5代入方程x²-（k+3）x+3k=0得5²-（k+3）×5+3k=0，解得k=5；
當AB=AC，則方程x²-（k+3）x+3k=0的兩個相等的實數根，
∴△=（k-3）²，=0，
∴k=3，
∴k的值為3或5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了等腰三角形的性質．