Question

【題目】某公司購進一種商品的成本為30元/kg，經市場調研發現，這種商品在未來90天的銷售單價p（元/kg）與時間t（天）之間的相關信息如圖，銷售量y（kg）與時間t（天）之間滿足一次函數關系，且對應數據如表，設第t天銷售利潤為w（元）

時間t（天）	10	30
每天的銷售量 y（kg）	180	140

（1）分別求出售單價p（元/kg）、銷售量y（kg）與時間t（天）之間的函數關系式；

（2）問：銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2t+200，；（2）第45天利潤最大，最大利潤為6050 元．

【解析】

（1）設y=k1t+b，利用待定系數法即可得解，當0＜t＜50時，設p=k2t+40，利用待定系數法即可得解，當50≤t≤90時，p=90；

（2）利用銷量×每千克利潤=總利潤，得到w關于t的函數關系式，然后根據函數性質求得最大值即可.

（1）設y=k1t+b，把t=10，y=180；t=30，y=140代入得到：

，

解得：，

∴y=﹣2t+200；

當0＜t＜50時，設p=k2t+40，由圖象得B（50，90），

∴50k+40=90，

∴k2=1，

∴p=t+40，

當50≤t≤90時，p=90；

（2）w=（﹣2t+200）（t+40﹣30）=﹣2t2+180t+2000=﹣2（t﹣45）2+6050，

所以當t=45時w最大值為6050元，

w=（﹣2t+120）（90﹣30）=﹣120t+12000，

因為﹣120＜0，

∴w隨x增大而減小，

所以t=50時，w最大值=6000，

綜上所述，第45天利潤最大，最大利潤為6050 元．