Question

已知：如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E，連接AB．
（1）求證：AB²=AE•AD；
（2）過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若AE=2，ED=4，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可證得△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可證得AB²=AE•AD；
（2）由（1）求得AB的長(zhǎng)，又由BD為⊙O的直徑，即可得∠A=90°，由DF是⊙O的切線，可得∠BDF=90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度數(shù)，即可證得△DEF是等邊三角形，則問(wèn)題得解．
解答：解：（1）證明：∵點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴．
∴AB²=AE•AD．（3分）

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2（舍負(fù)）．（4分）
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等邊三角形．
∴EF=DE=4．（5分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．