Question

如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AB、AC，切點分別為B、C，且⊙O直徑BD=6，連接CD、AO．
（1）求證：CD∥AO；
（2）設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證CD∥AO，根據平行線的判斷，證明∠DCB=∠OEB即可；
（2）由題可知求y與x之間的函數關系式，可以通過△BDC∽△AOB的比例關系式得出．
解答：（1）證明：如圖，連接BC，交OA于E點，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴AB=AC，∠1=∠2．
∴AE⊥BC．
∴∠OEB=90°．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DCB=90°．
∴∠DCB=∠OEB．
∴CD∥AO．

（2）解：∵CD∥AO，
∴∠3=∠4．
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴=，
∴=，
∴y=．
∴0＜x＜6．
點評：本題綜合考查的是平行線的判斷，切線的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理及圓周角定理．利用圓周角定理解答問題時，經常通過作輔助線構建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理來解答．