Question

23、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求證：∠CEF=∠CFE．

Answer 1

分析：根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，可得∠CEF=∠1+∠3，∠CFE=∠B+∠2，再根據同角的余角相等可得∠3=∠B，等量代換即可證明∠CEF=∠CFE．

解答：證明：證法一：在Rt△AFC中，
∠CFA=90°-∠1（直角三角形兩銳角互余）
同理在Rt△AED中，
∠AED=90°-∠2．
又∵AF平分∠CAB（已知）
∴∠1=∠2（角平分線定義）
∴∠AED=∠CFE（等量代換）
又∵∠CEF=∠AED（對頂角相等）
∴∠CEF=∠CFE．

證法二：利用三角形外角定理證．
∵∠CEF=∠1+∠3（1），
∠CFE=∠B+∠2（2）（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）
又∠3+∠ECF=90°，
∠B+∠FCE=90°（已知）
∴∠3=∠B．
由（1）、（2）可知∠CEF=∠CFE．（等量代換）

點評：本題證明的方法很多，可根據利用直角三角形兩銳角互余來證明，也可根據三角形外角定理證．