Question

【題目】如圖1，等邊△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，BD=CE，連AD、BE．

（1）求證：△CAD≌△ABE；

（2）如圖2，延長FE至點G，使得FG=FA，連AG，試判斷△AFG的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，連CF，若CF⊥AD，求證：CF⊥CG．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得：∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，再結合已知得出CD=AE，最后運用SAS即可證明；

（2）由（1）△CAD≌△ABE，可得∠CAD=∠ABE，進而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，即可說明其為等邊三角形；

（3）由（2）知△AFG是等邊三角形，進一步說明∠BAF=∠CAG，運用（SAS）判定△ABF≌△ACG，得出∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，則AD∥CG，即可得出結論

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，

∵BD=CE，

∴CD=AE，

在△CAD和△ABE中，，

∴△CAD≌△ABE（SAS）；

（2）由（1）知，△CAD≌△ABE，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵FG=FA，

∴△AFG是等邊三角形；

（3）由（2）知，△AFG是等邊三角形，

∴AF=AG，∠AFE=∠AGF=∠FAG=60°=∠BAC，

∴∠BAF=∠CAG，

在△ABF和△ACG中，，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°，

∴∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，

∴CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴CF⊥CG．