Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線EF，交AB和AC的延長線于E、F．

（1）求證：FE⊥AB；

（2）當AE＝6，sin∠CFD＝時，求EB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明OD∥AB，得出∠ODF＝∠AEF，再由切線的性質得出∠ODF＝90°，證出∠AEF＝90°，即可得出結論；

（2）設OA＝OD＝OC＝r，先由三角函數求出AF，再證明△ODF∽△AEF，得出對應邊成比例求出半徑，得出AB，即可求出EB．

（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠B，

∴∠ODC＝∠B，

∴OD∥AB，

∴∠ODF＝∠AEF，

∵EF與⊙O相切，

∴OD⊥EF，

∴∠ODF＝90°，

∴∠AEF＝∠ODF＝90°，

∴EF⊥AB；

（2）解：設OA＝OD＝OC＝r，

由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF，

在Rt△AEF中，sin∠CFD＝，AE＝6，

∴AF＝10，

∵OD∥AB，

∴△ODF∽△AEF，

∴

∴

解得r＝，

∴AB＝AC＝2r＝，

∴EB＝AB﹣AE＝﹣6＝．