Question

（2004•上海模擬）如圖，⊙O半徑為2，直徑CD以O為中心，在⊙O所在平面內轉動，當CD轉動時，OA固定不動，0°≤∠DOA≤90°，且總有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC與⊙O交于E，連AD，設CE為x，四邊形ABCD的面積為y．
（1）求y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；
（2）當x=2時，求四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比；
（3）當x取何值時，四邊形ABCD為直角梯形？連EF，此時OCEF變成什么圖形？（只需說明結論，不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四邊形ABCD不是規則的四邊形，可將其分成平行四邊形ABCO和△AOD兩部分來求解，連接DE，過O作OH⊥BC于H，那么不難得出OH是△CDE的中位線，在直角三角形CDE中，可用直徑和CE的長求出DE的值，然后即可得出OH的長，進而可根據四邊形ABCD的面積計算方法求出y，x的函數關系式．下面說x的取值范圍，0°≤∠DOA≤90°；因此0≤cos∠DOA≤1，而cos∠DOA==；因0≤≤1，即0≤x≤4；
（2）連接OE，那么四邊形的圓內部分可分為扇形ODE和△OCE兩部分，△OCE的面積容易求得；重點說明扇形ODE的面積計算方法，關鍵是求出圓心角∠DOE的度數；在直角三角形CDE中，CD=4，CE=2，因此∠DCE=30°；根據圓周角定理，∠DOE=2∠DCE=60°；根據扇形的面積公式即可求出扇形ODE的面積；然后再分別計算出△OCE的面積和四邊形ABCD的面積，進行比較即可．
（3）當∠CDA=90°，∠DAO=30°所以∠DCB=∠DOA=60°此時△OCE為等邊三角形，所以x=2時，四邊形ABCD為直角梯形，
此時OCEF變成了菱形．
解答：解：（1）連接DE，過O作OH⊥BC于H，則DE⊥BC，OH∥DE，
∵CD=4，CE=x，
∴DE===，
∴OH=DE=，
∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×+×4×，
=3（0≤x≤4），
∴x的取值范圍為0≤x≤4；

（2）當x=2時，
∵CE=2，CD=4，
∴DE=2，∠C=30°，
∴∠DOE=60°，OH=1，
∵S_圓內部分=+×2×1=+，
∵S_{四邊形ABCD}=3=3=6，
∴S_圓內部分：S_{四邊形ABCD}=，
∴四邊形ABCD在圓內的面積與四邊形ABCD的面積之比為（2π+3）：18；

（3）當∠CDA=90°，
由OA=2OD，得∠DAO=30°
所以∠DCB=∠DOA=60°
此時△OCE為等邊三角形，所以x=2時，四邊形ABCD為直角梯形，
連EF，此時OCEF變成了菱形
點評：本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的性質、圖形面積的求法、三角函數、直角梯形的判定等知識點的綜合運用能力．