Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，直角∠MPN的頂點P與點O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是_____.

（1）EF=OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；（4）OGBD=AE2+CF2.

Answer 1

【答案】（1）（2）（4）

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結論；（2）由（1）易證得S四邊形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD，則可證得結論； （3）首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得答案；（4）易證得△OEG∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得OGOB=OE2，再利用OB與BD的關系，OE與EF的關系，即可證得結論．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故（1）正確；

∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故（2）正確；

過點O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

設AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x（1-x）+（1-x）×=-（x-）2+，

∵a=-<0，

∴當x=時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；故（3）錯誤；

∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

∴△OEG∽△OBE，

∴OE：OB=OG：OE，

∴OGOB=OE2，

∵OB=BD，OE=EF，

∴OGBD=EF2，

∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

∴EF2=AE2+CF2，

∴OGBD=AE2+CF2．故（4）正確，

綜上所述：（1）（2）（4）正確，

故答案為：（1）（2）（4）