Question

1．（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數量關系，不用說明理由；
（3）如圖③，BD為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的外角的角平分線，它們相交于點D，請猜想∠A與∠D之間的數量關系，并說明理由

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據三角形內角和定理和計算即可；
（2）根據角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據三角形內角和定理和計算即可；
（3）根據角平分線的定義得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，根據三角形的外角的性質解答．

解答 解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠FCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵BD為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的外角的角平分線，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∠D=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．