Question

已知，如圖1：在正方形ABCD中，AB=2，點P是DC延長線上一點，以P為圓心，PD長為半徑的圓的一段弧交AB邊于點E，
（1）若以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時，求AE的長；
（2）如圖2：連接PE交BC邊于點F，連接DE，設AE長為x，CF長為y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）將點B沿直線EF翻折，使點B落在平面上的B′處，當EF=時，△AB′B與△BEF是否相似？若相似，請加以證明；若不相似，簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）取BC的中點G，連接AG．
∵圓A與圓G圓外切，
∴AG=AE+1．
正方形ABCD中，AB=2，設AE=x．
∵在Rt△ABG中，AB²+BG²=AG²，
∴（負數舍去）．
∴以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時，AE的長為．

（2）過點D作DH⊥PE于H，連接DF．
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²，
整理得到：；

（3）∵EF=，
∴，
∴，
解得：．
當x₁=1時，；
∵B沿直線EF翻折落在平面上的B'處，
∴BB'⊥EF，設垂足為Q．
∴BQ=，BB'=．
∵E、Q分別為AB、BB'的中點，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B與△BEF中，，，
∴=，
∴△AB'B∽△BEF；
（用相似傳遞性也可以證明△AB'B∽△BEF，也按步驟分步得分）
當時，．
∵==2，=1，
EQ與AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B與△BEF不相似．
綜上所述，當EF=，AE=1時，△AB'B∽△BEF；
當EF=，時，△AB'B與△BEF不相似．
分析：（1）兩圓外切，則圓心距等于兩圓的半徑和；設BC的中點為G，那么AG的長應該是AE+BC，進而可在Rt△ABG中，由勾股定理求得AE的長．
（2）若要x、y發生聯系，需將它們構建到同一個直角三角形中；連接DF，過D作DH⊥PE于H；通過證△DAE≌△DHE得到AE=EH=x，通過證△DHF≌△DCF得到CF=FH=y，進而可在Rt△EFB中，根據勾股定理求得x、y的函數關系式；
（3）由（2）知：當EF=時，x+y=，聯立（2）的函數關系式可求得此時x的值，進而可求出AE、BF的長；根據折疊的性質知：EF垂直平分BB′，設垂足為Q；在Rt△BEF中，根據直角三角形面積的不同表示方法，可求得BQ的長，也就得出了BB′的長；然后再判斷兩個直角三角形的對應邊是否成比例即可．
點評：此題考查了正方形的性質、相切兩圓的位置關系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性質等知識的應用能力，綜合性強，難度較大．