Question

【題目】如圖1，經過原點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為點C；與雙曲線y= 相交于點A，B；直線AB與分別與x軸、y軸交于點D，E．已知點A的坐標為（﹣1，4），點B在第四象限內且到x軸、y軸的距離相等．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計算△ABC的面積；
（3）如圖2，將拋物線平移至頂點在原點上時，直線AB隨之平移，試判斷：在y軸的負半軸上是否存在點P，使△PAB的內切圓的圓心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A的坐標代入雙曲線的解析式得：k=﹣1×4=﹣4．

所以雙曲線的解析式為y=﹣ ．

設點B的坐標為（m，﹣m）．

∵點B在雙曲線上，

∴﹣m2=﹣4，解得m=2或m=﹣2．

∵點B在第四象限，

∴m=2．

∴B（2，﹣2）．

將點A、B、C的坐標代入得： ，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x．

（2）解：如圖1，連接AC、BC．

令y=0，則x2﹣3x=0，

∴x=0或x=3，

∴C（3，0），

∵A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴直線AB的解析式為y=﹣2x+2，

∵點D是直線AB與x軸的交點，

∴D（1，0），

∴S△ABC=S△ADC+S△BDC= ×2×4+ ×2×2=6；

（3）解：存在，理由：如圖2，

由原拋物線的解析式為y=x2﹣3x=（x﹣ ）2﹣ ，

∴原拋物線的頂點坐標為（ ，﹣ ），

∴拋物線向左平移 個單位，再向上平移 個單位，

而平移前A（﹣1，4），B（2，﹣2），

∴平移后點A（﹣ ， ），B（ ， ），

∴點A關于y軸的對稱點A'（ ， ），

連接A'B并延長交y軸于點P，連接AP，

由對稱性知，∠APE=∠BPE，

∴△APB的內切圓的圓心在y軸上，

∵B（ ， ），A'（ ， ），

∴直線A'B的解析式為y=3x﹣ ，

∴P（0，﹣ ）．

【解析】（1）首先將點A的坐標代入反比例函數的解析式求得k的值，然后再求得B的值，最后根據點A的坐標求出雙曲線的解析式，進而得出點B的坐標，最后，將點A、B、O三點的坐標代入拋物線的解析式，求得a、b、c的值即可；
（2）由點A和點B的坐標可求得直線AB的解析式，然后將y=0可求得點D的橫坐標，最后用三角形的面積和求解即可；
（3）先確定出平移后點A，B的坐標，進而求出點A關于y軸的對稱點的坐標，求出直線BA'的解析式即可得出點P的坐標.