Question

如圖，在△ABC中 BC=7cm  AC=24cm AB=25cm P點在BC上從B點向C點運動（不包括C點），點P運動速度為2cm/s，Q點在AC上從C點向A點運動（不包括A點），速度為5cm/s，若點P、Q分別從點B、C同時運動．求：
①經過多長時間，S_△PCQ=15cm²？
②何時S_△PCQ最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：①先利用勾股定理的逆定理判定△ABC為直角三角形；設運動時間為x秒，利用x表示出PC、CQ的長，根據三角形的面積公式表示出△PCQ的面積，令其等于15即可列出關于x的方程，解方程即可；
②利用①中所求表達式，根據二次函數的性質求出最大值即可．

解答：解：①∵7²+24²=25²，
∴△ABC為直角三角形，
設點P、Q分別從點B、C同時運動時間為x秒，
則 S_△PCQ=

1

2

×（7-2x）×5x=-5x²+

35x

2

，
根據題意得：15=-5x²+

35x

2

，
解得：x₁=2，x₂=

3

2

．
可見，經過2秒或

3

2

秒時，S_△PCQ=15cm²．

 ②∵S_△PCQ=

1

2

×（7-2x）×5x=-5x²+

35x

2

=-5（x-

7

4

）²+

245

16

，
∴當x=

7

4

時S_△PCQ最大，最大面積是

245

16

cm²．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理、二次函數的最值及三角形的面積，用時間表示出三角形各邊長度是解題的關鍵．