Question

如圖，從O點射出炮彈落地點為D，彈道軌跡是拋物線，若擊中目標C點，在A測C的仰角∠BAC=45°，在B測C的仰角∠ABC=30°，AB相距（1+

3

）km，OA=2km，AD=2km．
（1）求拋物線解析式；
（2）求拋物線對稱軸和炮彈運行時最高點距地面的高度．

Answer 1

分析：（1）設此拋物線解析式為y=ax²+bx+c，由已知條件建立方程組求出a，b，c的值即可；
（2）利用（1）對函數(shù)的解析式配方即可求出拋物線對稱軸和炮彈運行時最高點距地面的高度．

解答：解：（1）過C作CE⊥OB交OB于E，設CE=xkm，
∵∠BAC=45°，
∴AE=CE=xkm，
∵AB相距(1+

3

)km，
∴BE=（1+

3

-x）km，
∵∠ABC=30°，
∴tan30°=

CE

BE

=

x

1+ 3 -x

=

3

3

，
解得：x=1，
∴CE=AE=1km，
∵OA=2km，AD=2km，
∴OD=4km，OE=3km，
∴C的坐標為（3，1），D的坐標為（4，0）
設此拋物線解析式為y=ax²+bx+c，則

c=0 16a+4b+c=0 9a+3b+c=1

，
解得：

a=- 1 3 b= 4 3 c=0

，
∴y=-

1

3

x²+

4

3

x；

（2）∵y=-

1

3

x²+

4

3

x=-

1

3

（x-2）²+

4

3

，
∴拋物線對稱軸為x=2，炮彈運行時最高點距地面的高為

4

3

km．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及用配方法求出拋物線的對稱軸和最值以及解直角三角形的應用，題目有一定的綜合性，是一道很不錯的題目．