Question

如圖為某游樂場電車軌道的一部分ABC的圖象，AB為線段，BC為反比例函數y=

k

x

的一部分，已知A（10，1）、B（8，2）、C（2，y_c）．過軌道圖象上一點分別作x、y軸垂線才能固定軌道，若垂線段的和（用S表示）取最小值的點稱為最佳支撐點．
（1）求直線AB的解析表示式及k值．
（2）求軌道圖象最佳支撐點的坐標．

Answer 1

分析：（1）設過A、B的直線為y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線AB的解析式；將B（8，2）代入y=

k

x

，即可求出k的值；
（2）設點P是軌道圖象上的任意一點，其橫坐標為x，那么分兩種情況：①點P在線段AB上；②點P在雙曲線BC上．針對這兩種情況，分別求出S與x的函數解析式，再根據函數的性質，求出S取最小值時，自變量x的值，然后比較即可得出軌道圖象最佳支撐點的坐標．

解答：解：（1）設過A、B的直線為y=kx+b．
將A（10，1）、B（8，2）代入，
得

10k+b=1 8k+b=2

，
解得

k=- 1 2 b=6

，
∴y=-

1

2

x+6；
∵反比例函數y=

k

x

經過點B（8，2），
∴k=8×2=16；

（2）分兩種情況：
①設P（x，-

1

2

x+6）是線段AB上任意一點，則8≤x≤10，P到x、y軸距離分別為-

1

2

x+6，x，
∴S=-

1

2

x+6+x=

1

2

x+6，
∵

1

2

＞0，∴S隨自變量x的增大而增大，
∴當x=8時，S取最小值，此時S=

1

2

×8+6=10；
②設P（x，

16

x

）是曲線BC上任意一點，則2≤x≤8，P到x、y軸距離分別為

16

x

，x，
∴S=

16

x

+x=（

x

-

4

x

）²+8≥8，
∴當

x

-

4

x

=0，即x=4時，S取最小值，此時S=8．
∵10＞8，
∴最佳支撐點為（4，4）．

點評：本題考查了運用待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式及一次函數、反比例函數的性質，（2）中對P點的位置進行討論是解題的關鍵．