Question

【題目】在圓中，、是圓的半徑，點在劣弧弧上，，，∥，聯結.

（1）如圖1，求證：平分；

（2）點在弦的延長線上，聯結，如果△是直角三角形，請你在如圖2中畫出

點的位置并求的長；

（3）如圖3，點在弦上，與點不重合，聯結與弦交于點，設點與點的

距離為，△的面積為，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的長為或；（3），自變量的取值范圍為

【解析】分析：（1）根據，得到,根據∥，得到，根據等量代換得到，即可證明.

(2) △是直角三角形只有以下兩種情況:和 ，分兩種情況進行討論即可.

（3）過點作,垂足為點，根據,得到,代入即可求出與的函數關系式.

詳解：（1）證明：∵、是圓的半徑，

∴，

∴ ，

∵∥，

∴，

∴，

∴平分.

(2)解：由題意可知不是直角，

所以△是直角三角形只有以下兩種情況:

和 ,

當，點的位置如圖

過點作,垂足為點,

∵經過圓心，∴,

∵，∴,

在Rt△中，,

∵，∴,

∵∥，∴,

∵ ，∴,

∴四邊形是矩形,

∴,

∴ ,

，點的位置如圖

由①可知，,

在Rt△中，,

∴,

,

綜上所述，的長為或.

說明：只要畫出一種情況點的位置就給1分，兩個點都畫正確也給1分.

（3）過點作,垂足為點,

由（1）、（2）可知，,

由（2）可得： ,

∵∴ ,

∵∥，∴,

又,,,

∴ ∴ ,

∴ ,

∴ ,

自變量的取值范圍為.