Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M為AB中點，D是射線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接ED、ME，則點D在運動過程中ME的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

連接BE，過點M作MG⊥BE的延長線于點G，過點A作AK⊥AB交BD的延長

線于點K，可得△AKB是等腰直角三角形．根據線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，可得△ADE是等腰直角三角形，從而證明△ADK≌△AEB，得∠ABE＝∠K＝45°，可得△BMG是等腰直角三角形，可求得MG的長，當ME＝MG時，ME的值最小，進而可得ME的最小值．

如圖，

連接BE，過點M作MG⊥BE的延長線于點G，

過點A作AK⊥AB交BD的延長線于點K，

∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠B＝45°，

∴∠K＝45°，

∴△AKB是等腰直角三角形．

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，

∴∠KAD＝∠BAE，

在△ADK和△AEB中，

∴△ADK≌△AEB（SAS），

∴∠ABE＝∠K＝45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵AC＝BC＝4，

∴AB＝，

∵M為AB中點，

∴BM＝，

∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，

∴BM＞MG，

∴當ME＝MG時，ME的值最小，

∴ME＝BE＝2．

故答案為2．