Question

已知，如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于D，取AC中點E，連結OE，ED的延長線與CB的延長線交于F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為3cm，ED=4cm，求sin∠F的值．

Answer 1

證明：（1）如圖，連結OD，
則OD=OC=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵E為AC的中點，O是CB的中點，
∴OE∥AB，
∴∠COE=∠CBA，∠EOD=∠ODB，
∴∠COE=∠EOD，
∵在△OCE和△ODE中，

∴△OCE≌△ODE（SAS），
∴∠ODB=∠OCE=90°，
即ED⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是圓O的切線．

（2）解：由OC=OD=OB=3cm，
ED=EC=4cm，
∵∠F=∠F，∠FCE=∠FDO，
∴△FDO∽△FCE，
∴==，
設FD=x，
=，
x=，
∴EF=+4=，
∴sin∠F==．
分析：（1）連接OD，求出OE∥AB，根據平行線性質和角平分線定義推出∠COE=∠EOD，證△OCE≌△ODE，推出∠ODB=∠OCE=90°，根據切線的判定推出即可；
（2）證△FDO∽△FCE，推出==，設FD=x，代入求出x，求出EF，根據銳角三角函數的定義求出即可．
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，綜合性比較強．