Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE．
（1）求∠CBE的大小；   
（2）求證：AE²=AC•EC．

Answer 1

【答案】分析：（1）由線段垂直平分線的性質可得EA=EB，進而可求出∠ABC=∠C，易求解．
（2）先由（1）的結論可證得△ABC∽△BEC，根據比例即可證明．
解答：解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°；

證明：（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC與△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴，
即BC²=AC•EC．
∴AE²=AC•EC．
點評：本題主要考查的是線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定以及等腰三角形的性質．關鍵是證明BC=BE=AE．